Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, Grüß Gott zusammen.

Wir hatten heute ja die erste Fragestunde.

Ich fand natürlich froh über jeden, der kommt.

Ich fand es ein bisschen erstaunlich, dass doch nur etwa 10 bis 15 Prozent da waren.

Das heißt, alle anderen haben anscheinend keine Fragen.

Wenn dem so ist, bin ich da natürlich vollauf glücklich.

Wenn dem nicht so ist, sollten Sie einfach mal drüber nachdenken,

wie es mit der Rationalität Ihres Arbeitens aussieht und ob das überlebensfähig ist.

Okay, vielleicht noch mal als Incentive.

Jeder würde gerne an Wer wird Millionär teilnehmen.

Was machen wir dann nächste Woche?

Da werden wir mit dem Clicker-System Sie noch stärker interaktiv einbinden

und dann noch Wiederholungsfragen zur Vorlesung stellen in dieser Fragestunde.

Sie können dann individuell Ihr Ergebnis sehen, anonymisiert für die anderen.

Sie können Ihren Wissensstand dann ein Stück weit dadurch selbstkritisch überprüfen.

Wir hatten als wesentliche Begriffe die lineare Hülle bzw. das erzeugende System kennengelernt,

basierend auf dem Begriff der Linearkombination,

der wiederum ganz stark verknüpft für den Begriff Unterraum.

Auf der einen Seite und auf der anderen Seite der Begriff der Linarenunabhängigkeit.

Wenn beides zusammenkommt, wenn ich eine Menge B habe,

die also sowohl ein erzeugendes System eines Raumes U ist,

das heißt der Spann von B, die lineare Hülle von B ist gleich U.

Andererseits ist B linear unabhängig, das heißt ich kann es in gewisser Weise nicht kleiner machen.

Wenn ich es kleiner mache, wird der Spann echt kleiner.

Dann nenne ich so etwas eine Basis eines Unterraums.

Wenn die Basis nur aus endlich vielen Vektoren besteht,

es wird Vektorräume geben, wo das geht, und es wird welche geben, wo das nicht geht,

dann nenne ich erst mal im Moment individuell die Anzahl dieser Elemente, die Länge der Basis.

Im Moment wissen wir noch nicht, ob es nicht möglich ist,

dass ein Vektorraum Basen unterschiedlicher Längen hat.

Das werden wir heute dann sehen, dass das nicht möglich ist,

dass also diese Zahl R eine wesentliche Eigenschaft des Vektorraums ist.

Gut, gehen wir mal unsere Beispiele durch.

Wenn wir einen Raum aufspannen durch einen von null verschiedenen Vektor,

so ist diese ein elementige Menge bestehend aus V natürlich linear unabhängig,

das heißt wir haben damit eine Basis.

Wenn wir einen Raum aus zwei Vektoren aufspannen,

so müssen diese zwei Vektoren nicht notwendigerweise eine Basis sein.

Sie sind dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig ist,

und wenn sie zurückblättern, ist es genau diese linear Unabhängigkeit,

ohne dass wir damals den Begriff schon hatten,

die wir vorausgesetzt haben, wenn wir also von einer Ebene gesprochen haben.

Da haben wir gerade vorausgesetzt, dass sich nicht der eine Vektor

den anderen darstellen lässt.

Okay, genauso gut bilden natürlich die N-Einheitsvektoren des Rn eine Basis.

Das Rn, denn zum einen spannen sie den Rn auf als Koeffizienten bezüglich dieser Basis.

Als Iten-Koeffizienten muss ich gerade die Komponente Xi wählen,

aber diese Komponente ist auch eindeutig bestimmt oder anderes gesagt,

Test auf lineare Unabhängigkeit, wenn ich den Nullvektor linear kombiniere,